Milieu et points alignés - Corrigé

Énoncé

Dans le plan complexe, on considère les points \(\text A(-2i) , \text B(-6+6i) , \text C(1+\sqrt{3}+i)\)  et \(\text D( \dfrac{8 - \sqrt(3) + (-2 + \sqrt(3)) i}{1-i})\) .

1. Déterminer l'affixe du point \(\text E\) milieu de \([\text C\text D]\) .

2. Montrer que les points \(\text A, \text B\) et \(\text E\) sont alignés.

Solution
1.
\(\begin{align*}z_\text E & = \frac{z_\text C+z_\text D}{2} \\& = \frac{1}{2} \left( 1+\sqrt{3}+i + \frac{8 - \sqrt(3) + (-2 + \sqrt(3)) i}{1-i} \right) \\& = \frac{1}{2} \left( \frac{ (1+\sqrt{3}+i )(1-i) + 8 - \sqrt(3) + (-2 + \sqrt(3)) i}{1-i} \right) \\& = \frac{1}{2} \left( \frac{ 2 + \sqrt(3) - \sqrt(3) i + 8 - \sqrt(3) + (-2 + \sqrt(3)) i}{1-i} \right) \\& = \frac{1}{2} \left( \frac{ 10-2i}{1-i} \right) \\& = \frac{1}{2} \left( \frac{ (10-2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} \right) \\& = \frac{1}{2} \left( \frac{ 12 + 8i}{2} \right) \\& = 3+2i\end{align*}\)
Donc \(z_\text E= 3+2i\)

2. On a  \(z_{\text E} \neq z_{\text A}\) . \(\dfrac{z_\text B-z_\text A}{z_\text E-z_\text A} = \dfrac{6+6i - (-2i)}{3+2i-(-2i)}= \dfrac{6+8i}{3+4i}= \dfrac{(6+8i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}= \dfrac{(6+8i)(3-4i)}{25}= \dfrac{50}{25} = 2\)
Donc \(\dfrac{z_\text B-z_\text A}{z_\text E-z_\text A} \in \mathbb{R}\)  
donc les points \(\text A, \text B\) et \(\text E\) sont alignés.